Subsets y supersets
Un set de muchas notas puede ser subdividido en "subsets".
Por ejemplo:
El reconocer los subsets es un arma para el compositor:
El superset se origina a partir de dos subsets iguales, en el que uno de ellos se ha transpuesto:
[0,3,5] + [0,3,5] transpuesto 4 semitonos
[0,3,5] + [4,7,9] = [0,3,4,5,7,9]
Combinación de dos subsets por inversión
El superset se crea a partir de dos subsets iguales, uno de ellos invertido (y puede que también transpuesto):
[0,3,5] + [0,3,5] invertido y transpuesto -1 semitonos
[0,3,5] + [0,9,7] (aquí ya invertido)
[0,3,5] + [e,8,6] (aquí transpuesto -1 semitono) = [0,3,5,6,8,e]
PC Sets Complementarios
Sets literalmente complementarios: un set contiene todos los tonos que no contiene el otro:
[0,3,5,8,10] y [1,2,4,6,7,9,10,11]
Sets complementarios en abstracto: es el mismo caso anterior donde uno de los sets se ha transpuesto
[0,3,5,8,10] + [0,1,3,5,6,8,10] (transpuesto semitono abajo)
Un PC Set yu su complementarios tienen vectores interválicos similares.
Una manera de calcular en vector interválico de un complemento es la siguiente:
Llamamos D al número de tonos que tiene de más el complementario que el otro set. Por ejemplo si un set tiene 5 tonos, el complementario tendrá 7 y la diferencia (en absoluto) es D=2.
Si el vector interválico del set original es <UVWXYZ>, el vector interválico del complementario es el mismo sumando a cada dígito D: <U+D,V+D,W+D,X+D,Y+D,Z+(D/2)]. Observemos que el tritono (último dígito del vector) divide la escala cromática exactamente por la mitad, por esta razón su vector se incrementa D/2.
En el ejemplo anterior el vector interválico de [0,3,5,8,10] es <032140>
El complementario, dado que el original tiene 5 tonos, tendrá 7 tonos y la diferencia es 2.
Por tanto el vector intervenido del complementario [0,1,2,4,6,8,10] será el resultado de sumar 2 a cada cifra del vector del otro set: <0+2,3+2,2+2,1+2,4+2,0+(2/2)> = <2,5,4,3,6,1>
Algunas escalas guardan relación complementaria:
Pentatónica (5 tonos) <032140> y diatónica (7 tonos) <254361>
Octatónica (8 tonos) <448444> y doble disminuida (acorde dis7, 4 tonos) <004002>
Complementarios de 6 tonos
El complementario de un set de 6 tonos también tendrá 6 tonos.
Por lo tanto el vector interválico de dos sets complementarios de 6 tonos es el mismo.
Hay dos formas posibles en las que dos sets de 6 tonos sean complementarios y tengan el mismo vector interválico:
Un set de muchas notas puede ser subdividido en "subsets".
Por ejemplo:
Observemos que el superset es altamente disonante, pero al dividirlo en subsets el efecto obtenido es muy diferente:
- pueden utilizarse para restringir una sección a una parte del superset e ir incorporando tonos haciendo la armonía más densa y compleja
- pueden colocarse los subsets en diferentes registros para enfatizar sus sonoridades
- pueden construirse melodías con los distintos subsets que se pueden combinar
El superset se origina a partir de dos subsets iguales, en el que uno de ellos se ha transpuesto:
[0,3,5] + [0,3,5] transpuesto 4 semitonos
[0,3,5] + [4,7,9] = [0,3,4,5,7,9]
Combinación de dos subsets por inversión
El superset se crea a partir de dos subsets iguales, uno de ellos invertido (y puede que también transpuesto):
[0,3,5] + [0,3,5] invertido y transpuesto -1 semitonos
[0,3,5] + [0,9,7] (aquí ya invertido)
[0,3,5] + [e,8,6] (aquí transpuesto -1 semitono) = [0,3,5,6,8,e]
PC Sets Complementarios
Sets literalmente complementarios: un set contiene todos los tonos que no contiene el otro:
[0,3,5,8,10] y [1,2,4,6,7,9,10,11]
Sets complementarios en abstracto: es el mismo caso anterior donde uno de los sets se ha transpuesto
[0,3,5,8,10] + [0,1,3,5,6,8,10] (transpuesto semitono abajo)
Un PC Set yu su complementarios tienen vectores interválicos similares.
Una manera de calcular en vector interválico de un complemento es la siguiente:
Llamamos D al número de tonos que tiene de más el complementario que el otro set. Por ejemplo si un set tiene 5 tonos, el complementario tendrá 7 y la diferencia (en absoluto) es D=2.
Si el vector interválico del set original es <UVWXYZ>, el vector interválico del complementario es el mismo sumando a cada dígito D: <U+D,V+D,W+D,X+D,Y+D,Z+(D/2)]. Observemos que el tritono (último dígito del vector) divide la escala cromática exactamente por la mitad, por esta razón su vector se incrementa D/2.
En el ejemplo anterior el vector interválico de [0,3,5,8,10] es <032140>
El complementario, dado que el original tiene 5 tonos, tendrá 7 tonos y la diferencia es 2.
Por tanto el vector intervenido del complementario [0,1,2,4,6,8,10] será el resultado de sumar 2 a cada cifra del vector del otro set: <0+2,3+2,2+2,1+2,4+2,0+(2/2)> = <2,5,4,3,6,1>
Algunas escalas guardan relación complementaria:
Pentatónica (5 tonos) <032140> y diatónica (7 tonos) <254361>
Octatónica (8 tonos) <448444> y doble disminuida (acorde dis7, 4 tonos) <004002>
Complementarios de 6 tonos
El complementario de un set de 6 tonos también tendrá 6 tonos.
Por lo tanto el vector interválico de dos sets complementarios de 6 tonos es el mismo.
Hay dos formas posibles en las que dos sets de 6 tonos sean complementarios y tengan el mismo vector interválico:
- Ambos sets tienen la misma Prime Form
- Los sets guardan una relación Z, es decir, los sets tienen el mismo vector interválico pero no son transposición o inversión uno del otro.
Sets complementarios en la composición dodecafónica
Si dividimos cualquier serie dodecafónica en dos partes de 6 tonos, las dos partes tendrán el mismo (o similar) contenido interválico. Esto permite trabajar sobre la composición.
Ejemplo (tomado de P. Nelson), algunas posibilidades combinatorias de la serie de Schoenberg en el op. 25.
La última combinación es de dos conjuntos de 6 tonos, los cuales, por definición, son complementarios.
- Si queremos mayor cohesividad armónica, buscaremos que los subconjuntos tengan la misma Prime Form, es decir, que sea "complementario de sí mismo".
- Si queremos mayor variedad armónica, buscaremos que los subconjuntos tengan una relación Z.
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